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By Behrends

ISBN-10: 383480102X

ISBN-13: 9783834801029

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2. Abz¨ ahlbare Vereinigungen solcher kleinen“ Mengen k¨onnen schon wesentlich ” umfangreicher sein. So ist zum Beispiel Q in R als abz¨ahlbare Vereinigung einpunktiger Mengen von erster Kategorie. Cantorsches Diskontinuum 3. Es ist gar nicht so einfach, sich eine Teilmenge von R von erster Kategorie vorzustellen, die nicht abz¨ ahlbar ist. So etwas gibt es aber, das bekannteste Beispiel ist das so genannte Cantorsche Diskontinuum D. Diese Menge ist so definiert: Man starte mit dem Intervall [ 0, 1 ] und entferne daraus zun¨ achst ] 1/3, 2/3 [.

Definiert man dann A als die Vereinigung dieser Netze A1 , A1/2 , A1/3 , . , so ist A eine (h¨ochstens) abz¨ahlbare dichte Teilmenge. Kurz : Kompakte metrische R¨aume sind separabel. Beweis: Sei ε > 0 vorgegeben. Wir behaupten, dass ein m ∈ N und Elemente xi ∈ K, i = 1, . . , m existieren, so dass m Kε (xi ) = K; i=1 dabei bezeichnet Kε (xi ) wie in Kapitel 3 die Kugel um xi mit dem Radius ε. G¨ abe es kein ε-Netz, so w¨ are f¨ ur jedes m ∈ N und jede Auswahl von Elemenm ten x1 , . . , xm ∈ K notwendig i=1 Kε (xi ) K; man k¨onnte dann induktiv eine Folge (xn )n∈N konstruieren, so dass d(xi , xj ) > ε f¨ ur i = j: W¨ ahle x1 ∈ K beliebig.

Ur die n, m ≥ n2 . Die Bestimme dann ein n2 > n1 mit d(xn , xm ) ≤ 1/22 f¨ zweite Kugel ist K2 := K1/2 (xn2 ). So geht es immer weiter, auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Kugeln mit K1 ⊃ K2 ⊃ · · · , f¨ ur die die Radien gegen Null gehen. Setzt man den Cantorschen Durchschnittssatz voraus, so folgt die Existenz eines x0 , das in allen Kugeln liegt. Insbesondere gilt d(x0 , xnk ) ≤ 1/2k−1 und folglich xnk → x0 . Unsere Cauchy-Folge hat also eine konvergente Teilfolge; dann muss sie aber selbst schon konvergent sein.

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Analysis Band by Behrends

by Daniel

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